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Définir des nombres complexes

Les nombres complexes forment un groupe de chiffres résultant de la somme d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire de type . Un nombre réel, selon la définition, est un nombre qui peut être exprimé par un entier (4, 15, 2686) ou décimal (1,25 ; 38,1236 ; 29854,152). D’autre part, un nombre imaginaire est un nombre dont le carré est négatif. Le concept de nombre imaginaire a été développé par Leonhard Euler en 1777 , lorsqu’il a donné à v-1 le nom de et (de «imaginaire» ).

La notion de nombre complexe découle de l’impossibilité pour les nombres réels de couvrir les racines paires de l’ensemble des nombres négatifs. Les nombres complexes peuvent donc refléter toutes les racines des polynômes , ce que les nombres réels ne sont pas capables de faire.

Grâce à cette caractéristique, les nombres complexes sont utilisés dans divers domaines des mathématiques, de la physique et de l’ingénierie . En raison de leur capacité à représenter le courant électrique et les ondes électromagnétiques, par exemple, ils sont souvent utilisés dans l’électronique et les télécommunications . L’analyse dite complexe, ou la théorie des fonctions de ce type, est considérée comme l’une des facettes les plus riches des mathématiques.

Il convient de noter que le corps de chaque nombre réel est composé de paires ordonnées ( a, b ). Le premier élément ( a ) est la partie réelle, tandis que le second élément ( b ) est la partie imaginaire. Les nombres purement imaginaires sont ceux qui sont uniquement formés par la partie imaginaire (donc, a=0 ).

Les nombres complexes constituent ce qu’on appelle le corps complexe ( C ). Lorsque la composante réelle a est identifiée avec le complexe correspondant ( a, 0 ), le corps de ces nombres réels ( R ) est transformé en un sous-corps de C . D’autre part, C forme un espace vectoriel bidimensionnel sur R . Cela montre que les nombres complexes n’admettent pas la possibilité de maintenir un ordre, contrairement aux nombres réels.

Histoire des nombres complexes

Déjà au premier siècle avant J.-C., certains mathématiciens grecs, comme Héron d’Alexandrie, ont commencé à esquisser le concept de nombres complexes, avant les difficultés de construction d’une pyramide . Cependant, ce n’est qu’au XVIe siècle qu’ils ont commencé à occuper une place importante dans la science ; à cette époque, un groupe de personnes cherchait des formules pour obtenir les racines exactes des polynômes des degrés 2 et 3.

Tout d’abord, leur intérêt était de trouver les véritables racines des équations mentionnées ci-dessus ; cependant, ils devaient également s’occuper des racines des nombres négatifs. Le célèbre philosophe, mathématicien et physicien d’origine française Descartes est celui qui a créé le terme de nombres imaginaires au 17ème siècle, et ce n’est que plus de 100 ans plus tard que le concept de complexes sera accepté. Cependant, il a fallu que Gauss, un scientifique allemand, la redécouvre quelque temps après pour qu’elle reçoive l’attention qu’elle méritait.

Le plan complexe

Pour interpréter des nombres complexes de manière géométrique, il est nécessaire d’utiliser un plan complexe . Dans le cas de leur addition, celle-ci peut être liée à celle des vecteurs, tandis que leur multiplication peut être exprimée par des coordonnées polaires, avec les caractéristiques suivantes :

* la magnitude de son produit est la multiplication des magnitudes des termes ;

* l’angle par rapport à l’axe réel du produit résulte de la somme des angles des termes

Pour représenter les positions des pôles et des zéros d’une fonction dans un plan complexe, on utilise souvent des diagrammes dits d’Argand.

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